Question

19．某地區(qū)2009年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013
年份代號x	1	2	3	4	5
人均純收入y	2.8	3.2	4.2	4.8	5

（1）用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2009年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，代入所給的x的值，預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，這是一個估計值．

解答 解：（1）由題意，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2.8+3.2+4.2+4.8+5）=4，
∴b=$\frac{66-5×3×4}{55-5×{3}^{2}}$=0.6，a=4-0.6×3=2.2．
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.6x+2.2；
（2）由（1）知，b=0.6＞0，故2009年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，
平均每年增加0.6千元．
將2015年的年份代號x=7代入y=0.6x+2.2，得：y=0.6×7+2.2=6.4，
故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.4千元．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個題目做對的必備條件．