Question

4．若對于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個“λ～特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（　�。�
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一的“λ～特征函數(shù)”；
②f（x）=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”；
③“$\frac{1}{3}$λ～特征函數(shù)”至少有一個零點；
④f（x）=e^x是一個“λ～特征函數(shù)”．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用新定義“λ～特征函數(shù)”，對A、B、C、D四個選項逐個判斷即可得到答案

解答 解：對于①，設(shè)f（x）=C是一個“λ～特征函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ～特征函數(shù)”，故①不正確；
對于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=-2λ-λ，∴當λ=-1時，f（x+λ）+λf（x）=-2≠0；λ≠-1時，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”，故②正確；
對于③，令x=0，得f（$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{3}$f（0）=0，所以f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{3}$f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（$\frac{1}{3}$）•f（0）=-$\frac{1}{3}$[f（0）]²＜0．
又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上必有實數(shù)根．因此任意的“λ～特征函數(shù)”必有根，即任意“$\frac{1}{3}$λ～特征函數(shù)”至少有一個零點，
故③正確．
對于④，假設(shè)f（x）=e^x是一個“λ～特征函數(shù)”，則e^x+λ+λe^x=0對任意實數(shù)x成立，則有e^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e^x是“λ～特征函數(shù)”，故④正確
故結(jié)論正確的是②③④，
故選：C

點評 本題考查函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，考查函數(shù)的零點，正確理解λ～特征函數(shù)的概念是關(guān)鍵，屬于中檔題