Question

已知AB是橢圓

x2

20102

+

y2

b2

=1（2010＞b＞0）的長軸，若把該長軸2010等分，過每個等分點(diǎn)作AB垂線，依次交橢圓的上半部分于P₁，P₂，…，P₂₀₀₉，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點(diǎn)，則

1

2010

×（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)P是任意一個等分點(diǎn)與橢圓

x2

20102

+

y2

b2

=1（2010＞b＞0）的交點(diǎn)，則必有一個與P對稱的點(diǎn)P′，使得|PF1|+|P′F1|=|PF1|+|PF2|=2a=2×2010，這樣的點(diǎn)共有2010對，包括A，B兩點(diǎn)，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：設(shè)P是任意一個等分點(diǎn)與橢圓

x2

20102

+

y2

b2

=1（2010＞b＞0）的交點(diǎn)，
則必有一個與P對稱的點(diǎn)P′，
使得|PF1|+|P′F1|=|PF1|+|PF2|=2a=2×2010，
這樣的點(diǎn)共有2010對，包括A，B兩點(diǎn)，
∴

1

2010

×（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）
=

1

2010

×[(2×2010)×2010]
=2×2010
=4020．
故答案為：4020．

點(diǎn)評：本題考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．