Question

3．單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$對于任意實數(shù)λ都有|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，則向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為120°．

Answer 1

分析 設向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為θ，兩邊平方，結合向量的平方即為模的平方，以及向量的數(shù)量積的定義，運用二次不等式恒成立的思想方法，由判別式小于等于0，即可得到所求夾角．

解答 解：設向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為θ，
由|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，
兩邊平方可得，（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²≤（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²，
即為$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$²≤$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-2λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+λ²$\overrightarrow{{e}_{2}}$²，
即有1+cosθ+$\frac{1}{4}$≤1-2λcosθ+λ²，
即為λ²-2λcosθ-cosθ-$\frac{1}{4}$≥0恒成立，
則判別式△≤0，即4cos²θ+4（cosθ+$\frac{1}{4}$）≤0，
即為（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≤0，但（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≥0，
則有cosθ+$\frac{1}{2}$=0，解得夾角θ=120°．
故答案為：120°．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和夾角的求法，考查向量的數(shù)量積的性質：向量的平方即為模的平方，運用平方法，結合二次不等式恒成立思想是解題的關鍵．