Question

11．已知f（x）=ax²-2x+1-a，a∈R．g（log₂x）=f（x）
（1）對(duì)-切x∈R，均有f（x）≤2x+6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）求g（x）的解析式并求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得ax²-4x-5-a≤0恒成立，對(duì)a討論，結(jié)合判別式非負(fù)，解不等式即可得到所求范圍；
（2）令t=log₂x，則x=2^t，即有g(shù)（t）=a•4^t-2•2^t+1-a，可得g（x）的解析式；討論a=0，a＞0，a＜0，由指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，可得所求值域．

解答 解：（1）對(duì)-切x∈R，均有f（x）≤2x+6恒成立，
即為ax²-4x-5-a≤0恒成立，
顯然a=0時(shí)，-4x-5不恒小于等于0，不成立；
當(dāng)a＜0，判別式△≤0，即有16+4a（a+5）≤0，
解得-4≤a≤-1，
當(dāng)a＞0，不等式不恒成立．
綜上可得a的范圍是[-4，-1]；
（2）g（log₂x）=f（x）=ax²-2x+1-a，
令t=log₂x，則x=2^t，
即有g(shù)（t）=a•4^t-2•2^t+1-a，
則g（x）=a•4^x-2•2^x+1-a，
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-2•2^x+1＜1；
當(dāng)a＞0時(shí)，令m=2^x，（m＞0），
g（x）=am²-2m+1-a，對(duì)稱軸為m=$\frac{1}{a}$＞0，
即有g(shù)（x）在對(duì)稱軸處取得最小值，且為$\frac{a-{a}^{2}-1}{a}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)稱軸為m=$\frac{1}{a}$＜0，g（m）在區(qū)間（0，+∞）遞減，
可得g（x）∈（-∞，1-a）．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?∞，1）；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇$\frac{a-{a}^{2}-1}{a}$，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?∞，1-a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用判別式，考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用換元法，考查函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用分類討論思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．