Question

已知直線l：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的右焦點F，拋物線：x²=4

2

y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

．試判斷λ₁+λ₂的值是否為定值，若是求出定值，不是說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出c=1，b=

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

，得（2m²+3）y²+4my-4=0，利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明當(dāng)m變化時，λ₁+λ₂的值是定值-3．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知橢圓右焦點F（1，0），∴c=1，
拋物線x2=4

2

y的焦點坐標(biāo)(0，

2

)…（1分）
∴b=

2

∴b2=2，
∴a²=b²+c²=3…（3分）
∴橢圓C的方程

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意知m≠0，且l與y交于M（0，-

1

m

），
設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
∴y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1•y2=

-4

2m2+3

，
∵

MA

=λ1

AF

，
∴（x1，y1+

1

m

）=λ₁（1-x₁，-y₁），
∴λ1=-1-

1

my1

，同理λ2=-1-

1

my2

，
∴λ₁+λ₂=-2-

1

m

（

1

y1

+

1

y2

）．
∵

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-4m

2m2+3

•(

2m2+3

-4

)=m…（10分）
∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

1

m

•m=-3…（12分）
∴當(dāng)m變化時，λ₁+λ₂的值是定值，定值為-3．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的判斷與證明，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．