Question

11．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件a²+b²=2c²，求$\frac{c}{a-2b}$的范圍．

Answer 1

分析 已知式子變形，令$\frac{a}{c}$=x，$\frac{c}$=y，問題轉(zhuǎn)化為x²+y²=2，求$\frac{1}{x-2y}$的取值范圍，三角換元先求z=x-2y的范圍，再由不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：∵a²+b²=2c²，∴$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$=2，即（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²=2，
而$\frac{c}{a-2b}$=$\frac{1}{\frac{a}{c}-2\frac{c}}$，令$\frac{a}{c}$=x，$\frac{c}$=y，
則問題轉(zhuǎn)化為x²+y²=2，求$\frac{1}{x-2y}$的取值范圍，令z=x-2y，
三角代換可得z=$\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ=$\sqrt{10}$cos（θ+φ），其中tanφ=2，
由三角函數(shù)的知識可得z∈[-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]，
∴$\frac{1}{z}$≥$\frac{\sqrt{10}}{10}$或$\frac{1}{z}$≤-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴所求取值范圍為[$\frac{\sqrt{10}}{10}$，+∞）∪（-∞，-$\frac{\sqrt{10}}{10}$]

點(diǎn)評 本題考查簡單線性規(guī)劃求式子的取值范圍，三角換元是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．