Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*）關(guān)于下列命題：
①若a₁=$\sqrt{3}$，則a₃=0；
②對(duì)任意的a₁（a₁≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$），均有a_n+3=a_n（n∈N^*）
③若a₁=tanα，a₂=tanβ，a₃=tanγ，α、β、γ∈（0，2π），則α、β、γ成等差數(shù)列；
④當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a₁＜$\sqrt{3}$時(shí)，S_3n＜0
其中正確的命題有（　�。�

• A． 1 個(gè)
• B． 2 個(gè)
• C． 3 個(gè)
• D． 4 個(gè)

Answer 1

分析 ①由a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₂=$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$=-$\sqrt{3}$，a₃=0，即可判斷出正誤；
②對(duì)任意的a₁（a₁≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$），a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，可得a_n+3=a_n，（n∈N^*），即可判斷出正誤；
③若a₁=tanα，a₂=tanβ，a₃=tanγ，則a₂=tanβ=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$=tan$（α+\frac{π}{3}）$，a₃=$tan（α+\frac{2π}{3}）$，由α、β、γ∈（0，2π），可得$β=α+\frac{π}{3}$，或β=$α+\frac{π}{3}$+π，$γ=α+\frac{2π}{3}$或γ=$α+\frac{2π}{3}$+π，即可判斷出正誤；
④當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a₁＜$\sqrt{3}$時(shí)，由②可知：只要計(jì)算S₃＜0即可，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{2}}$=$\frac{3{a}_{1}（3-{a}_{1}^{2}）}{1-3{a}_{1}^{2}}$＜0．

解答 解：①∵a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），∴a₂=$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，a₃=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）}$=0，因此正確；
②對(duì)任意的a₁（a₁≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$），a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，a_n+3=$\frac{\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}}$
=a_n，均有a_n+3=a_n（n∈N^*），正確；
③若a₁=tanα，a₂=tanβ，a₃=tanγ，則a₂=tanβ=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$=tan$（α+\frac{π}{3}）$，a₃=tanγ=$\frac{tan（α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tan（α+\frac{π}{3}）}$=$tan（α+\frac{2π}{3}）$，∵α、β、γ∈（0，2π），∴$β=α+\frac{π}{3}$，或β=$α+\frac{π}{3}$+π，$γ=α+\frac{2π}{3}$或γ=$α+\frac{2π}{3}$+π，∴α、β、γ不一定成等差數(shù)列，故不正確；
④當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a₁＜$\sqrt{3}$時(shí)，由②可知：只要計(jì)算S₃＜0即可，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{2}}$=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}}$=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{1}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{1}}$=$\frac{9{a}_{1}-3{a}_{1}^{3}}{1-3{a}_{1}^{2}}$=$\frac{3{a}_{1}（3-{a}_{1}^{2}）}{1-3{a}_{1}^{2}}$＜0．∴S_3n＜0，因此正確．
其中正確的命題有①②④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的性質(zhì)、兩角和差的正切公式、數(shù)列的周期性，考查了類比推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．