Question

11．設雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF₂|+|AF₂|的最小值為10．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的標準方程可得：a=2，b=$\sqrt{2}$，再由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4，|BF₂|-|BF₁|=2a=4，所以得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，再根據(jù)A、B兩點的位置特征可得|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，計算即可得到答案．

解答 解：根據(jù)雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，得a=2，b=$\sqrt{2}$，
由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=4…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，
由于過雙曲線的左焦點F₁的直線交雙曲線的左支于A，B兩點，
可得|AF₁|+|BF₁|=|AB|，當|AB|是雙曲線的通徑時|AB|最小．
即有|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=8．
即有|BF₂|+|AF₂|=|AB|+8≥$\frac{2^{2}}{a}$+8=$\frac{2×2}{2}$+8=10．
故答案為：10．

點評 本題考查兩條線段和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意雙曲線的定義和簡單性質的合理運用．