Question

5．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若線段BF的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求此橢圓的離心率；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)引兩條相互垂直的直線OM，ON（與坐標(biāo)軸不重合）分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若三角形OMN的最小面積為$\sqrt{2}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線段BF的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O得到b=c，即可求此橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)出直線OM，ON的方程，聯(lián)立方程組求出M，N的橫坐標(biāo)，表示出三角形的面積，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），B（0，b），
∵線段BF的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴b=c，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{2}c$，
即橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)直線OM的方程為y=kx，則直線ON的方程為y=-$\frac{1}{k}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得，${{x}_{M}}^{2}=\frac{2^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${{x}_{N}}^{2}$=$\frac{2^{2}{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
則S_△OMN=$\frac{1}{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x_M|$•\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}•|{x}_{N}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}}$•|x_M•x_N|
=$^{2}•\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+10}}$≥b²$•\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4•2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+10}}$=$\frac{2}{3}^{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)，取等號(hào)，即b²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求解以及橢圓離心率的求解，考查學(xué)是的運(yùn)算能力．