Question

11．對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合計	M	1

（1）求出表中M、p及圖中a的值；
（2）試估計他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)；
（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出表中M、p及圖中a的值．
（2）由頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖能求出參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)．
（3）在樣本中，處于[20，25）內(nèi)的人數(shù)為3，可分別記為A，B，C，處于[25，30]內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為a，b，由此利用列舉法能求出至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率．

解答 解：（1）由題可知$\frac{10}{M}$=0.25，$\frac{25}{M}$=n，$\frac{m}{M}$=p，$\frac{2}{M}$=0.05．
又10+25+m+2=M，
解得M=40，n=0.625，m=3，p=0.075．
則[15，20）組的頻率與組距之比a為0.125．（4分）
（2）參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)為：$\frac{10+15}{2}×\frac{1}{4}+\frac{35}{2}×\frac{25}{40}+\frac{45}{2}×\frac{3}{40}+\frac{55}{2}×\frac{2}{40}=\frac{137}{8}≈17$次   （8分）
（3）在樣本中，處于[20，25）內(nèi)的人數(shù)為3，可分別記為A，B，C，
處于[25，30]內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為a，b．
從該5名學(xué)生中取出2人的取法有：
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），
（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共10種，
至少1人在[20，25）內(nèi)的情況有共9種，
∴至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率為$\frac{9}{10}$．（12分）

點評 本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．