Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{3}t\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位）中，圓C的方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C相切，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系即可得到圓C的直角坐標(biāo)方程；
（II）求出直線l的普通方程，則圓C的圓心到直線l的距離等于圓C的半徑．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（Ⅱ）將t=y代入x=a+$\sqrt{3}t$得x-a-$\sqrt{3}y$=0，
∴直線l的普通方程是x-$\sqrt{3}$y-a=0．
由（I）知圓C的圓心為C（2，0），半徑r=2，
∵直線l與圓C相切，
∴$\frac{|2-a|}{\sqrt{1+3}}=2$，解得a=-2或a=6．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系判斷，屬于基礎(chǔ)題．