Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動點(diǎn)P滿足：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=m（|$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$|²-$\overrightarrow{OB}$²），求動點(diǎn)P的軌跡方程，并根據(jù)m的取值討論方程所表示的曲線類型．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），根據(jù)向量條件建立方程關(guān)系進(jìn)行化簡即可得到結(jié)論．．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{PA}$=（-1-x，-y），$\overrightarrow{PB}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（-1，0），$\overrightarrow{OB}$=（1，0）
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x²+y²-1，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$=-x，
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=m（{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}|}^{2}-{\overrightarrow{OB}}^{2}）$，∴x²+y²-1=m（x²-1）化簡得，（m-1）x²-y²=m-1，
∴當(dāng)m＞1時(shí)，方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；
當(dāng)m=1時(shí)，方程為y=0，是x軸所在直線；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m=0時(shí)，方程為x²+y²=1，表示單位圓；
當(dāng)m＜0時(shí)，方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

點(diǎn)評 本題主要考查軌跡方程的應(yīng)用，涉及一元二次方程表示曲線的判斷，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．．