Question

已知二次函數(shù)f（x）=mx²+mx+2-m．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若x=0是不等式f（x）＜x唯一的整數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）已知二次函數(shù)f（x）=mx²+mx+2-m，若不等式f（x）＞0對任意x∈R恒成立．則：m≠0時，由

m＞0 △=b2-4m(2-m)＜0

，進(jìn)一步求得結(jié)果．
（Ⅱ）利用若x=0是不等式f（x）＜x唯一的整數(shù)解，需要滿足f（0）＜0，且進(jìn)一步設(shè)：令h（x）=mx²+（m-1）x+2-m，由題意得：m＞2，h（0）＜0，h（1）≥0，h（-1）≥0，最后求不等式組的解集．

解答： 解：（Ⅰ）已知二次函數(shù)f（x）=mx²+mx+2-m，若不等式f（x）＞0對任意x∈R恒成立．
則：m≠0時，由

m＞0 △=b2-4m(2-m)＜0

解得：0＜m＜

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（Ⅱ）由f（x）＜x
得：mx²+（m-1）x+2-m＜0
由f（0）＜0
解得：m＞2
令h（x）=mx²+（m-1）x+2-m
由題意得：m＞2，h（0）＜0，h（1）≥0，h（-1）≥0
解得：2＜m≤3

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：二次函數(shù)恒大于0的條件，及一元二次不等式有某一個唯一實數(shù)解的條件，及相關(guān)的不等式的解法．