Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，令正弦函數(shù)為0求出x的值，即為其圖象對稱中心的橫坐標；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把b²=ac代入并利用基本不等式變形，求出cosx的范圍，確定出x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的值域即可．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

（1+cos

2x

3

）=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

，
由sin（

2x

3

+

π

3

）=0，得

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z），
解得：x=

3k-1

2

，k∈Z，
則對稱中心的橫坐標為

3k-1

2

（k∈Z）；
（2）由已知b²=ac及余弦定理，得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosx＜1，即0＜x≤

π

3

，
∴

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∴

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

，即f（x）的值域為（

3

，1+

3

2

]，
綜上所述，x∈（0，

π

3

]，f（x）值域為（

3

，1+

3

2

]．

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．