Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-2x+2+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在（1，﹢∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2+lnx，則令f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

＞0，由此能求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）令f′（x）=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

=0，f（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，故f′（x）=0在（1，+∞）上只有一個(gè)根且不是重根．令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．進(jìn)行分類討論能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2+lnx，
令f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

＞0，
解得0＜x＜

1

2

．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

）．
（2）∵令f′（x）=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

=0，
f（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=0在（1，+∞）上只有一個(gè)根且不是重根．
令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-2x+1，不在（1，+∞）上有一個(gè)根，舍去．
②當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一個(gè)根，且不是重根，
∴g（1）＜0，∴0＜a＜1；
③當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一個(gè)根，且不是重根，
∴g（1）＞0，∴a＞1，矛盾．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值值范圍是：0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．