Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}-b}$（a、b為實數(shù)，且a＞0）是奇函數(shù)．
（1）求a與b的值；
（2）解不等式f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0，f（-1）+f（1）=0，求出a、b的值；
（2）由（1）得f（x）定義域上的減函數(shù)，把不等式f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（-1）＞0化為${log}_{\frac{1}{3}}$x＜1，求出解集即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}-b}$是奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{-1+a}{2-b}$=0，
解得a=1；
又f（-1）+f（1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1-b}$+$\frac{-2+1}{{2}^{2}-b}$=$\frac{\frac{1}{2}b+1}{（1-b）（4-b）}$=0，
解得b=-2；
（2）由（1）得，f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$是定義域上的減函數(shù)，
∴不等式f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（-1）＞0可化為
f（${log}_{\frac{1}{3}}$x）＞-f（-1）=f（1），
即${log}_{\frac{1}{3}}$x＜1，
解得x＞$\frac{1}{3}$；
∴該不等式的解集為{x|x＞$\frac{1}{3}$}．

點評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是綜合性題目．