Question

12．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（1，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，cosA），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，b+c=2$\sqrt{3}$，求證：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)量積公式求出A的余弦值，進(jìn)而求角A的大��；
（Ⅱ）利用余弦定理得到a，b，c三邊，判斷三角形的形狀．

解答 解：（Ⅰ）由向量$\overrightarrow{m}$=（1，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，cosA），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0．
得到-1+2cosA=0解得cosA=$\frac{1}{2}$，由0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）證明：在△ABC中，因為a²=b²+c²-2bccosA，且a=$\sqrt{3}$，b+c=2$\sqrt{3}$，
所以3=b²+c²-2bc$•\frac{1}{2}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，解得c=$\sqrt{3}$，所以b=$\sqrt{3}$，
所以a=b=c=$\sqrt{3}$，所以三角形為等邊三角形．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運用以及利用余弦定理判斷三角形的形狀；屬于基礎(chǔ)題目．