Question

6．已知A（-3，0），圓C：（x-a-1）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1上存在點(diǎn)M，滿足條件|MA|=2|MO|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$∪$[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

Answer 1

分析 求出M在圓心為D（1，0），半徑為2的圓上，根據(jù)點(diǎn)M在圓C上，可得圓C與圓D有公共點(diǎn)，從而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（x，y），
∵A（-3，0），圓C：（x-a-1）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1上存在點(diǎn)M，滿足條件|MA|=2|MO|，
∴$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，即x²+y²-2x-3=0，
∴點(diǎn)M在圓心為D（1，0），半徑為r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+12}$=2的圓上．
又點(diǎn)M在圓C：（x-a-1）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1上，
∴圓C與圓D有公共點(diǎn)，
∵圓C的圓心C（a+1，$\sqrt{3}a$），半徑r′=1，
∴1≤|CD|≤3，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+3{a}^{2}}$=2|a|≤3，
解得-$\frac{3}{2}≤a≤-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$∪$[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．
故答案為：$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$∪$[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、兩圓位置關(guān)系的合理運(yùn)用．