Question

2．函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下題：
①f（x）在[1，3]上的圖象時連續(xù)不斷的  
②f（x）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性質(zhì)P
③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]
④對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命題的序號③④．

Answer 1

分析 根據(jù)題設條件，分別舉出反例，說明①和②都是錯誤的；同時證明③和④是正確的．

解答 解：在①中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{2}^{x}}，1≤x＜3\\ 2，x=3\end{array}\right.$在[1，3]上滿足性質(zhì)P，
但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{3}$]上不滿足性質(zhì)P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（$\frac{x+4-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（x）+f（4-x）≥2\\{f（x）≤f（x）}_{max}=f（2）=1\\{f（4-x）≤f（x）}_{max}=f（2）=1\end{array}\right.$，
故f（x）=1，
∴對任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）=f（$\frac{{\frac{1}{2}（x}_{1}+{x}_{2}）+{\frac{1}{2}（x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）
≤$\frac{1}{2}$[f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$ ）]
≤[$\frac{1}{2}$（f（x₁）+f（x₂））+$\frac{1}{2}$（f（x₃）+f（x₄））]
=$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故④成立．
故答案為：③④．

點評 本題考查的知識點為函數(shù)定義的理解，說明一個結(jié)論錯誤時，只需舉出反例即可．說明一個結(jié)論正確時，要證明對所有的情況都成立．