Question

2．若（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展開式中x^-2的系數(shù)為15，則正實數(shù)a的值為1．

Answer 1

分析 在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于-1，求出r的值，再根據(jù)（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展開式中x^-2的系數(shù)為15，求得正實數(shù)a的值．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展開式的通項公式為T_r+1=C₆^r•a^r•${x}^{3-\frac{5}{2}r}$，
令r=-2，可得3-$\frac{5}{2}$r=-2，∴r=2
∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展開式中x^-2的系數(shù)為15，
∴C₆²•a²=15，
∵a＞0，
∴a=1，
故答案為：1．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．