Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

ex+1

（a∈R）．
（1）確定f（x）的單調區(qū)間；
（2）求實數(shù)a，使f（x）是奇函數(shù)，在此基礎上，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)的單調性及單調區(qū)間

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導，由導數(shù)的符號確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）由f（x）是奇函數(shù)，得f（0）=0，從而a-

2

e0+1

=a-1=0，可得a=1，把a代入函數(shù)的表達式再求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵對任意實數(shù)x，函數(shù)都有意義，∴函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
f′(x)=-

0-2ex

(ex+1)2

=

2ex

(ex+1)2

＞0恒成立，∴f（x）在R上單調遞增，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．
（2）由f（x）是奇函數(shù)，得f（0）=0，∴a-

2

e0+1

=a-1=0，∴a=1．
∴f(x)=1-

2

ex+1

∵e^x＞0，∴e^x+1＞1，∴

1

ex+1

∈（0，1），∴-

2

ex+1

∈（-2，0），∴1-

2

ex+1

∈（-1，1），
∴f（x）的值域是（-1，1）

點評：本題考查函數(shù)的性質、單調性的判斷及函數(shù)值域的求解，考查學生解決問題的能力．