Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（a-1）x²+bx，f（x）在x=1處的切線斜率為-9，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ） 求f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再利用f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得f′（x）=3x²+2（a-1）x+b，
∵函數(shù)f（x）=x³+（a-1）x²+bx，f（x）在x=1處的切線斜率為-9，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，
∴

3+2(a-1)+b=9 a=1

，
∴a=1，b=-12；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3x²-12=0，可得x=±2，
x∈（-∞，-2），函數(shù)單調(diào)遞增，x∈（-2，2），函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（2，+∞），函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=-2時(shí)，函數(shù)取得極大值16，x=2時(shí)，函數(shù)取得極小值-16．

點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、考查函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．