Question

如圖，直四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求直線C₁E與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過點B作BF⊥CD，垂足為F，可證在△BCE中，BE⊥BC，由BB₁⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，可得BB₁⊥BE，又BB₁∩BC=B，即可證明BE⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 連BC₁，由BE⊥平面BB₁C₁C，可知∠BC₁E是直線C₁E與平面BB₁C₁C所成角，即可求解．

解答： 證明：（Ⅰ）過點B作BF⊥CD，垂足為F，
則BF=AD=

2

，EF=AB-DE=1，F(xiàn)C=2，
在Rt△BFE中，BE=

3

，Rt△BFC中，BC=

6

．
在△BCE中，BE²+BC²=EC²，故BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，
∴BB₁⊥BE，又BB₁∩BC=B，
∴BE⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 連BC₁，∵BE⊥平面BB₁C₁C，
∴∠BC₁E是直線C₁E與平面BB₁C₁C所成角，
sin∠BC1E=

BE

EC1

=

3

3 2

=

6

6

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面所成角的正弦值的求法，屬于中檔題．