Question

16．已知A（4，0），B（2，2）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1內(nèi)的點(diǎn)，M是橢圓上的動點(diǎn)，則|MA|+|MB|的最小值是（　�。�

• A． 10+2$\sqrt{10}$
• B． 10+$\sqrt{10}$
• C． 10-2$\sqrt{10}$
• D． 10-$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由橢圓的定義可知，MA+MB=10+|MB|-|MF|．當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|．顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最小值．

解答 解：A為橢圓右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)F（-4，0），B在橢圓內(nèi)，
∴|MA|+|MF|=2a=10，
于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|．
當(dāng)M不在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，
于是|MB|-|MF|＜|BF|，
而當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，
在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有|MB|-|MF|=-|BF|，
在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|．
顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最小值，
∴最小值|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10-|BF|=10-$\sqrt{（2+4）^{2}+（2-0）^{2}}$=10-2$\sqrt{10}$，
故答案為：10-2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義及最值的求法，注意轉(zhuǎn)化思想，以及三點(diǎn)共線求最值的方法，解題時(shí)要熟練掌握定義法的運(yùn)用．