Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）檔b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可，注意分類討論．

解答： 解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2x-2+

b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，
∴當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）得，當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，f'（x）=0有兩個(gè)不同解，x₁=

1

2

-

1-2b

2

，x₂=

1

2

+

1-2b

2

，
∴（i）b≤0時(shí)，x₁=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞），x₂=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此時(shí)f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

（ii）當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1 此時(shí)，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↘↗	極大值	↘	極小值	↗

綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)b＜

1

2

時(shí)f（x）有極值點(diǎn)；
當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有惟一最小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x=

1

2

-

1-2b

2

，和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的極值知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及分類討論思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．