Question

設函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）檔b＞

1

2

時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調性；
（2）當b＜

1

2

時，求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)即可判斷函數(shù)在定義域上的單調性；
（2）利用導數(shù)求函數(shù)的極值即可，注意分類討論．

解答： 解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2x-2+

b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，
∴當b＞

1

2

時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增．
（2）由（1）得，當b＜

1

2

時，f'（x）=0有兩個不同解，x₁=

1

2

-

1-2b

2

，x₂=

1

2

+

1-2b

2

，
∴（i）b≤0時，x₁=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞），x₂=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此時f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

（ii）當0＜b＜

1

2

時，0＜x₁＜x₂＜1 此時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↘↗	極大值	↘	極小值	↗

綜上所述：當且僅當b＜

1

2

時f（x）有極值點；
當b≤0時，f（x）有惟一最小值點x=

1

2

+

1-2b

2

；
當0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x=

1

2

-

1-2b

2

，和一個極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

．

點評：本題主要考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及求函數(shù)的極值知識，考查學生的運算求解能力及分類討論思想的運用能力，屬中檔題．