Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n＞0，且$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$=1（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（$\frac{2}{{a}_{n}}$）⁴．當(dāng)n≥2時(shí)，求證：b₂+b₃+…+b_n≥$\frac{n-1}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）直接由已知可得數(shù)列{$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$}是以$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{4}=1$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求得的$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}=n$代入$_{n}=（\frac{2}{{a}_{n}}）^{4}$，縮小后利用裂項(xiàng)相消法證明答案．

解答 （1）解：由$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$=1，
可知數(shù)列{$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$}是以$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{4}=1$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}=1+（n-1）×1=n$，
∴${{a}_{n}}^{2}=4n$，又a_n＞0，
則${a}_{n}=2\sqrt{n}$；
（2）證明：由$_{n}=（\frac{2}{{a}_{n}}）^{4}$，且$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}=n$，
得$_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}$≥$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n≥2），
∴b₂+b₃+…+b_n≥$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=\frac{n-1}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．