Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}的通項公式a_n=tann•tan（n-1），證明對于任意n∈N₊存在常數(shù)A、B使得S_n=Atann+Bn．

Answer 1

分析 通過兩角差的正切公式變形可知a_n=$\frac{tann-tan（n-1）}{tan1}$-1，進而利用分組法求和即可．

解答 證明：∵tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanA•tanB}$，
∴tanA•tanB=$\frac{tanA-tanB}{tan（A-B）}$-1，
又∵數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=tann•tan（n-1），
∴a_n=$\frac{tann-tan（n-1）}{tan[n-（n-1）]}$-1=$\frac{tann-tan（n-1）}{tan1}$-1，
∴S_n=$\frac{1}{tan1}$[tan1-tan0+tan2-tan1+tan3-tan2+…+tann-tan（n-1）]-n
=$\frac{1}{tan1}$（tann-tan0）-n
=$\frac{1}{tan1}$•tann-n，
令A(yù)=$\frac{1}{tan1}$，B=-1，則對于任意n∈N₊存在常數(shù)A、B使得S_n=Atann+Bn．

點評 本題考查數(shù)列的求和，涉及兩角差的正切公式，考查并項相消法求數(shù)列的和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．