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20.已知x,y∈R+,滿足x2+2xy+2y2=1,記x,y中較大者為M,則M的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

分析 x2+2xy+2y2=1,可得(x+y)2=1-y2≥0,解得0<y≤1.x=-y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$.令x-y=t,可得:t=-2y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$.利用導數研究其單調性即可得出.

解答 解:∵x2+2xy+2y2=1,∴(x+y)2=1-y2≥0,解得0<y≤1.
∴x=-y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$.令x-y=t,
則y+t=-y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$.
t=-2y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$.
t′=-2+$\frac{-2y}{2\sqrt{1-{y}^{2}}}$=-2-$\frac{y}{\sqrt{1-{y}^{2}}}$<0,
∴t在(0,1]上單調遞減,
∴-2≤t<1.
當$0<y≤\frac{\sqrt{5}}{5}$時,0≤t<1,此時x≥y,M=x;
當$\frac{\sqrt{5}}{5}$<y≤1時,-2≤t<0,此時x<y,M=y.
綜上可得:M的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、換元法、不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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