Question

18．已知動點P在拋物線x²=2y上，過點P作x軸的垂線，垂足為H，動點Q滿足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PH}$．
（1）求動點Q的軌跡E的方程；
（2）點M（-4，4），過點N（4，5）且斜率為k的直線交軌跡E于A、B兩點，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，求|k₁-k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x，y），則P（x，2y），代入x²=2y得出軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線AB方程與Q的軌跡方程，得出A，B的坐標關(guān)系，代入斜率公式化簡|k₁-k₂|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．

解答 解：（1）設(shè)點Q（x，y），由$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PH}$，則點P（x，2y），
將點P（x，2y）代入x²=2y得x²=4y．
∴動點Q的軌跡E的方程為x²=4y．
（2）設(shè)過點N的直線方程為y=k（x-4）+5，A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，得x²-4kx+16x-20=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$．
∵k₁=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-4}{{x}_{1}+4}$=$\frac{{x}_{1}-4}{4}$，k₂=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-4}{{x}_{2}+4}$=$\frac{{x}_{2}-4}{4}$．
∴|k₁-k₂|=$\frac{1}{4}$|x₁-x₂|=$\frac{1}{4}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-4k+5}$=$\sqrt{（k-2）^{2}+1}$≥1．
∴當k=2時，|k₁-k₂|取得最小值1．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，屬于中檔題．