Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），g（x）=$\frac{a}{2}$x+b（a，b∈R）．
（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1-$\frac{a}{2}$．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表達(dá)式；
（2）若a=4時，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實根b的取值范圍；
（3）若b=-$\frac{15}{2}$，a∈N^*，求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數(shù)a．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到h（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于b的不等式組，求出b的范圍即可；
（3）令p（x）=f（x）-g（x），求出p（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最大正整數(shù)即可．

解答 解：（1）$b=1-\frac{a}{2}$時，$h（x）={e^x}（\frac{a}{2}x+1-\frac{a}{2}）（a∈R）$，
∴$h'（x）={e^x}（\frac{a}{2}x+1）$，
①當(dāng)a=0時，h′（x）=e^x＞0，h（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
則此時φ（a）=h（1）=e；
②當(dāng)a＞0時，$h'（x）={e^x}•\frac{a}{2}（x+\frac{2}{a}）$，h（x）在$（-\frac{2}{a}，+∞）$上為增函數(shù)，
故h（x）在[0，1]上為增函數(shù)，此時φ（a）=h（1）=e；     …（2分）
③當(dāng)a＜0時，$h'（x）={e^x}•\frac{a}{2}（x+\frac{2}{a}）$，h（x）在$（-∞，-\frac{2}{a}）$上為增函數(shù)，在$（-\frac{2}{a}，+∞）$上為減函數(shù)，
若$0＜-\frac{2}{a}＜1$，即a＜-2時，故h（x）在$[0，-\frac{2}{a}]$上為增函數(shù)，在$[-\frac{2}{a}，1]$上為減函數(shù)，
此時$φ（a）=h（-\frac{2}{a}）={e^{-\frac{2}{a}}}（-1+b）=-\frac{a}{2}•{e^{-\frac{2}{a}}}$，…（5分）
若$-\frac{2}{a}≥1$，即-2≤a＜0時，h（x）在[0，1]上為增函數(shù)，則此時φ（a）=h（1）=e；
∴綜上所述：φ（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{a}{2}e}^{-\frac{2}{a}}，a＜-2}\\{e，a≥-2}\end{array}\right.$；                 …（6分）
（2）F（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-b，F(xiàn)′（x）=e^x-2，
∴F（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減；在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增；…（7分）
∴F（x）=e^x-2x-b在[0，2]上恰有兩個相異實根
$?\left\{\begin{array}{l}F（0）=1-b≥0\\ F（ln2）=2-2ln2-b＜0\\ F（2）={e^2}-4-b≥0\end{array}\right.?2-2ln2＜b≤1$，
∴實數(shù)b的取值范圍是b∈（2-2ln2，1]；              …（10分）
（3）由題設(shè)：$?x∈R，p（x）=f（x）-g（x）={e^x}-\frac{a}{2}x+\frac{15}{2}＞0$，（*）
∵$p'（x）={e^x}-\frac{a}{2}$，故p（x）在$（----∞，ln\frac{a}{2}）$上單調(diào)遞減；在$（ln\frac{a}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，
∴（*）$?p{（x）_{min}}=p（ln\frac{a}{2}）=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}+\frac{15}{2}=\frac{1}{2}（a-aln\frac{a}{2}+15）＞0$，
設(shè)$q（x）=x-xln\frac{x}{2}+15=x-x（lnx-ln2）+15$，則$q'（x）=1-ln\frac{x}{2}-1=-ln\frac{x}{2}$，
∴q（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；在（2，+∞）上單調(diào)遞減，…（12分）
而q（2e²）=2e²-2e²lne²+15=15-2e²＞0，
且$q（15）=15-15ln\frac{15}{2}+15=15（2-ln\frac{5}{2}）=15（ln{e^2}-ln\frac{15}{2}）＜0$，
故存在${x_0}∈（2{e^2}，15）$使q（x₀）=0，
且x∈[2，x₀）時h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）時h（x）＜0，
又∵$q（1）=16-ln\frac{1}{2}＞0$，$7＜{e^2}＜\frac{15}{2}$，
∴a∈N^*時使f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方的最大正整數(shù)a=14．…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．