Question

19．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列{a_n}，的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{5n}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}}{5}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=（　�。�

• A． $\frac{8}{17}$
• B． $\frac{9}{19}$
• C． $\frac{10}{21}$
• D． $\frac{11}{23}$

Answer 1

分析 先求出${S}_{n}=5{n}^{2}$，再求出a_n=10n-5，從而$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此能求出$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{5n}$，
∴$\frac{n}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{5n}$，∴${S}_{n}=5{n}^{2}$，
∴a₁=S₁=5，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（5n²）-[5（n-1）²]=10n-5，
n=1時，上式成立，
∴a_n=10n-5，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{5}$=2n-1，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{19}-\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{21}）$
=$\frac{10}{21}$．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的前11項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．