Question

11．某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)500元，二等獎(jiǎng)200元，三等獎(jiǎng)10元．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下；顧客先從裝有2個(gè)紅球、4個(gè)白球的甲箱中隨機(jī)摸出兩球，再從裝有1個(gè)紅球、2個(gè)黑球的乙箱隨機(jī)摸出一球，在摸出的3個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若有2個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若三種顏色各一個(gè)，則獲三等獎(jiǎng)，其它情況不獲獎(jiǎng)．
（I）設(shè)某顧客在一次抽獎(jiǎng)中所得獎(jiǎng)金數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若某個(gè)時(shí)間段有三位顧客參加抽獎(jiǎng)，求至多有一位獲獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得X的可能取值為500，200，10，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在一次摸獎(jiǎng)中的獲獎(jiǎng)概率為：1-P（X=0）=$\frac{3}{5}$，由此能求出三人中至多一人獲獎(jiǎng)的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為500，200，10，0，
P（X=500）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{45}$，
P（X=200）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{10}{45}$，
P（X=10）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{16}{45}$，
P（X=0）=1-$\frac{1}{45}-\frac{10}{45}-\frac{16}{45}$=$\frac{18}{45}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	500	200	10	0
P	$\frac{1}{45}$	$\frac{10}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{18}{45}$

∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：
EX=$500×\frac{1}{45}+200×\frac{10}{45}+10×\frac{16}{45}$=$\frac{532}{9}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在一次摸獎(jiǎng)中的獲獎(jiǎng)概率為：
1-P（X=0）=1-$\frac{18}{45}$=$\frac{3}{5}$，
∴三人中至多一人獲獎(jiǎng)的概率為：${C}_{3}^{1}•\frac{3}{5}•（\frac{2}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{44}{125}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．