Question

9．如圖，△ABC是等邊三角形，BM=CN，∠1=60°，∠DMN=2∠N，求證：∠N=30°

Answer 1

分析 由正弦定理ME=EN，設(shè)ME=EN=1，從而DE=$\frac{sinN}{sin（60°-N）}$，由∠EDM=120°-2∠N，得DE=$\frac{sinNcosN}{sin（60°-N）cos（60°-N）}$，由此能證明N=30°．

解答 證明：由正弦定理得$\frac{NE}{sin∠ECN}$=$\frac{CN}{∠CEN}$，$\frac{ME}{sinB}$=$\frac{BM}{sin∠BEM}$，
∵∵△ABC是等邊三角形，BM=CN，
∴ME=EN，設(shè)ME=EN=1，
∵∠1=60°，∴∠EDN=60°-∠N
∴DE=$\frac{sinN}{sin（60°-N）}$，
∵∠EDM=120°-2∠N
∴DE=$\frac{sin2N}{sin（120°-2N）}$=$\frac{sinNcosN}{sin（60°-N）cos（60°-N）}$=$\frac{sinN}{sin（60°-N）}$，
∵0＜N＜60°，∴sinN，sin（60°-N）都不為0
∴cosN=cos（60°-N），∴N=60°-N，
解得N=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形一個(gè)內(nèi)角為30°的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、二倍角公式的合理運(yùn)用．