Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B分別為曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，C、D分別為曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-4，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由向量的幾何意義，以及直線和圓的位置關(guān)系即可求出．

解答 解：曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$為半圓，如圖所示：A（-1，0），B（1，0），
當(dāng)$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$方向相反時(shí)，且長度均為2時(shí)，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-4，
設(shè)D在$\overrightarrow{AC}$上的投影點(diǎn)為H，OD與BC的交于點(diǎn)M，OM=x，
則當(dāng)DH為圓0的切線時(shí)，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{CH}$|=2x（1-x）≤$\frac{1}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)等號成立）
所以則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-4，$\frac{1}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查了向量的幾何意義，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)位置關(guān)系，以及直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．