Question

10．已知向量：$\overrightarrow{a}$=（2sinωx，cos²ωx），向量$\overrightarrow$=（cosωx，$2\sqrt{3}$），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）在[0，π]的上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若tanα=f（0）+2-2$\sqrt{3}$，求sin²α+sinαcosα+1的值；
（Ⅲ）若對任意實數(shù)$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，恒有|f（x）-m|＜2成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用向量的數(shù)量積以及二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)表達(dá)式，求出函數(shù)的周期，即可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由tanα=2，得到正弦與余弦值，由此得到解析式的值．
（Ⅲ）通過$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，求出相位的范圍，確定函數(shù)的值域，然后利用|f（x）-m|＜2，得到m的關(guān)系式，求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2sinωxcosωx+$2\sqrt{3}$cos²ωx，
=sin2ωx+$\sqrt{3}$（1+cos2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
∵相鄰兩對稱軸間的距離為π．∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵tanα=f（0）+2-2$\sqrt{3}$=2，
|sinα|=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，|cosα|=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，且正弦值域余弦值符號相同．
∴sin²α+sinαcosα+1=$\frac{11}{5}$．
（Ⅲ）∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴2$\sqrt{3}$≤f（x）≤2+$\sqrt{3}$
∵|f（x）-m|＜2．
∴-2+m＜f（x）＜2+m，
若對任意實數(shù)$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，恒有|f（x）-m|＜2成立，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2+m≤2\sqrt{3}}\\{2+m≥2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$
解得$\sqrt{3}$≤m≤4+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用．