Question

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的正切值．

Answer 1

【解】  解法一：(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連結(jié)．        ……1分

，     ．         

，且，

是正三角形，．

平面．

．             

(Ⅱ)取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，

分別為的中點(diǎn)，  

                        

，且．   分

∵四邊形是直角梯形，且，

且．                            ∴四邊形是平行四邊形．                       

．                                       

平面，

平面．                                   

 (Ⅲ)取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．

∵四邊形是直角梯形且，

，．

平面，

，

是二面角的平面角．                       設(shè)，則．

、分別為、中點(diǎn)，

．

是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，．      ，

∴二面角的正切值為．          解法二：(Ⅰ)同解法1

(Ⅱ) ∵側(cè)面底面，

又，      底面．

．

．

∴直線(xiàn)兩兩互相垂直，故可以分別以直線(xiàn)為軸、軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．           設(shè)，，則可求得，則

．                   且，

，即．

，即．

．  

設(shè)是平面的法向量，則且．

 

取，得．          是的中點(diǎn)， ．

．

．      

．                                          

平面，

平面．                                   ……

 (Ⅲ)平面，

是平面的法向量，                                                 …

∴二面角的正切值為．