Question

14．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．下列說(shuō)法正確的有：①③．（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）
①對(duì)給定的函數(shù)f（x），對(duì)承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；
②定義域和值域都是R的函數(shù)f（x），不存在承托函數(shù)；
③g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$不存在承托函數(shù)．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)）①舉例可以說(shuō)明，如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，反例如y=tanx或y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)．
②如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故錯(cuò)．
③要說(shuō)明g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)，即證明F（x）=e^x-2x的圖象恒在x軸上方．
④先求函數(shù)的值域，從而可知函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)承托函數(shù)．

解答 解：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如y=tanx．y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)，∴命題①正確；
②f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故命題②不正確；
③令F（x）=e^x-ex，F(xiàn)′（x）=e^x-e=0，得x=1，
當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值=0，
∴f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立
∴③正確；
④設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=y，則yx²+（y-1）x+y=0
若y=0，則x=0，成立
若y≠0，則△≥0，即（y-1）²-4y²≥0且y≠0，
∴（3y-1）（y+1）≤0且y≠0，
∴-1≤y＜0或$0＜y≤\frac{1}{3}$
綜上知，$-1≤y≤\frac{1}{3}$
∴y=A（A≤-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)；
∴命題④不正確；
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查對(duì)題意的理解和轉(zhuǎn)化的能力，要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，必須給出證明，對(duì)于存在性命題的探討，只需舉例說(shuō)明即可，對(duì)于不正確的命題，舉反例即可，有一定的綜合性．