Question

2．已知命題p：?x₀∈R，使x₀+$\frac{1}{3}$m=${e^{x_0}}$；（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），命題q：橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{5}$=1的離心率的范圍是$（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}）$．若（?p）∨（?q）為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得命題p中的m的取值范圍，對(duì)于命題q：命題q為真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}m＞5\\ \frac{1}{4}＜\frac{m-5}{m}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜5\\ \frac{1}{4}＜\frac{5-m}{5}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$，解出即可得出．由（?p）∨（?q）為假命題，即命題p、命題q都為真，即可得出．

解答 解：若命題p為真時(shí)，由函數(shù)x+$\frac{1}{3}$m=e^x，轉(zhuǎn)化為：$\frac{1}{3}$m=e^x-x，設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-x，
∵f'（x）=e^x-1，f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）=e^x-x的值域?yàn)閇1，+∞），
∴$\frac{1}{3}m$≥1，解得m≥3．
若命題q為真時(shí)，①m＞5時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e的平方e²=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{4}{9}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}m＞5\\ \frac{1}{4}＜\frac{m-5}{m}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$，
②5＞m＞0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，同理可得$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜5\\ \frac{1}{4}＜\frac{5-m}{5}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$．
解①得$\frac{20}{3}＜m＜9$，解②得$\frac{25}{9}＜m＜\frac{15}{4}$，．
（?p）∨（?q）為假命題，即命題p、命題q都為真，
故m的取值范圍為  $\frac{20}{3}＜m＜9$或 $3≤m＜\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．