Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，若斜率為$\frac{4}{5}$的直線l過點(diǎn)（3，0）與C交于A、B兩點(diǎn)，則所截線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$）．

Answer 1

分析 由題意求得直線AB的方程，代入橢圓方程求得關(guān)于x的一元二次方程方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂=3，代入直線方程求得y₁+y₂=-$\frac{12}{5}$，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．

解答 解：由題意可知：直線與橢圓的交點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
直線AB的方程為：y=$\frac{4}{5}$（x-3），
代入橢圓方程整理得：x²-3x-8=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=3，
y₁+y₂=$\frac{4}{5}$（x₁+x₂）-$\frac{24}{5}$，
=$\frac{4}{5}$×3-$\frac{24}{5}$，
=-$\frac{12}{5}$
則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），即（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$），
故答案為：（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．