Question

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

，。

其中，表示函數(shù)在D上的最小值，表示函數(shù)在D上的最大值。若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱(chēng)函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”。

（1）若，試寫(xiě)出的表達(dá)式；

（2）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”， 

    如果是，求出對(duì)應(yīng)的；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若

    是上的“階收縮函數(shù)”，求的取值范圍。

Answer 1

     解：（1）由題意得：

   （2），

    

  當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，

    綜上所述：，又，則

　 （3）�。�時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，，

   。因?yàn)?sub>是上的“階收縮函數(shù)”，所以，

   ①對(duì)恒成立；

   ②存在，使得成立。

   ①即：對(duì)恒成立，由，解得：

    ，要使對(duì)恒成立，需且只需

   ②即：存在，使得成立。由得：

   ，所以，需且只需

   綜合①②可得：

  ⅱ）時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

   因此，

   顯然當(dāng)時(shí)，不成立。

  ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

   因此，

   顯然當(dāng)時(shí)，不成立。

   綜合�。�ⅱ）ⅲ）可得：