Question

9．已知f（x）=$\frac{m}{x+1}$+nlnx（m，n為常數(shù)），在x=1處的切線方程為x+y-2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并寫出定義域；
（Ⅱ）若?x∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得對?t∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若g（x）=f（x）-ax-$\frac{2}{x+1}$（a∈R）有兩個不同的零點x₁，x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義意義求得m，n的值，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得到函數(shù)定義域；
（Ⅱ）f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的最小值為f（1）=1，只需t³-t²-2at+2≤1，即$2a≥{t^2}-t+\frac{1}{t}$對任意的$t∈[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，構(gòu)造函數(shù)m（t），利用導(dǎo)數(shù)求出m（t）的最大值，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，得到g（x₁）=g（x₂）=0，根據(jù)相加和相減得到$ln{x_1}+ln{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{x_1}{x_2}$，再利用分析法，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最小值，問題得以證明．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=$\frac{m}{x+1}$+nlnx可得$f'（x）=-\frac{m}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{n}{x}$，
由條件可得$f'（1）=-\frac{m}{4}+n=-1$，把x=-1代入x+y=2可得，y=1，
∴$f（1）=\frac{m}{2}=1$，
∴m=2，$n=-\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2}lnx$，x∈（0，+∞），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上單調(diào)遞減，
∴f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上的最小值為f（1）=1，
故只需t³-t²-2at+2≤1，即$2a≥{t^2}-t+\frac{1}{t}$對任意的$t∈[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，
令m（t）=${t^2}-t+\frac{1}{t}$，易求得m（t）在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，[1，2]上單調(diào)遞增，
而$m（\frac{1}{2}）=\frac{7}{4}$，$m（2）=\frac{5}{2}$，
∴2a≥m（t）_max=g（2），
∴$a≥\frac{5}{4}$，
即a的取值范圍為$[\frac{5}{4}，+∞）$
（Ⅲ）∵$g（x）=-\frac{1}{2}lnx-bx$，不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，
∴g（x₁）=g（x₂）=0，
∴$-\frac{1}{2}ln{x_1}=b{x_1}$，$-\frac{1}{2}ln{x_2}=b{x_2}$，相加可得$-\frac{1}{2}（ln{x_1}+ln{x_2}）=b（{x_1}+{x_2}）$，相減可得$-\frac{1}{2}（ln{x_1}-ln{x_2}）=b（{x_1}-{x_2}）$，
由兩式易得：$ln{x_1}+ln{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{x_1}{x_2}$；
要證${x_1}{x_2}＞{e^2}$，
即證明lnx₁+lnx₂＞2，
即證：$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{x_1}{x_2}＞2$，
需證明$ln\frac{x_1}{x_2}＞2\frac{{（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$成立，
令$\frac{x_1}{x_2}=t$，則t＞1，
于是要證明$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
構(gòu)造函數(shù)$ϕ（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$，
∴$ϕ'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，
故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，
∴$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
故原不等式成立．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題