Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1（a∈R）
（I）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）當(dāng)0≤a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=-1時(shí)，f（1）=2．f′（x）=$\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{{x}^{2}}$，可得f′（1），即可得出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）f′（x）=$\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-[ax-（1-a）]（x-1）}{{x}^{2}}$，對(duì)a分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得單調(diào)區(qū)間．當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-a}{a}＞1$，分別解出f′（x）＞0時(shí)，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（I）當(dāng)a=-1時(shí)，f（1）=-a+1-a-1=-2a=2．
f′（x）=$\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=1-a-（1-a）=0，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2；
（II）f′（x）=$\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-[ax-（1-a）]（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，則x＞1時(shí)，f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；則0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-a}{a}＞1$，由f′（x）＞0時(shí)，解得$1＜x＜\frac{1-a}{a}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$（1，\frac{1-a}{a}）$；
由f′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜1或$x＞\frac{1-a}{a}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間（0，1），$（\frac{1-a}{a}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、幾何意義、切線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．