Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上的一點(diǎn)P到F（3，0）的距離為6，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），則|$\overrightarrow{OQ}$|=（　�。�

• A． 1
• B． 5
• C． 2或5
• D． 1或5

Answer 1

分析 分類討論，利用雙曲線的第二定義，求出P的坐標(biāo)，利用向量知識(shí)，即可求解．

解答 解：設(shè)P（x，y），則
P在右支上，F(xiàn)（3，0）右是焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{6}{x-\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}$，∴x=$\frac{16}{3}$，∴y=±$\frac{5}{3}\sqrt{11}$，
∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），∴|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{（\frac{25}{6}）^{2}+（\frac{5\sqrt{11}}{6}）^{2}}$=5；
P在左支上，（-3，0）是左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{8-6}{-\frac{4}{3}-x}=\frac{3}{2}$，∴x=-$\frac{8}{3}$，∴y=±$\frac{\sqrt{35}}{3}$，
∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），∴|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{（\frac{1}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{35}}{6}）^{2}}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程于性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．