已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=3an-1+3n-1(n∈N,n≥2)且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使得bn=
1
3n
(an+t)(n∈N)且{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出t的值,如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
考點(diǎn):數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=3an-1+3n-1(n∈N,n≥2)且a3=95.分別令n=3,2,解出即可.
(2)由an=3an-1+3n-1(n∈N,n≥2),變形為
an
3n
-
an-1
3n-1
=1-
1
3n
,利用“累加求和”可得an=
(2n+1)•3n+1
2
..假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使得bn=
1
3n
(an+t)(n∈N)且{bn}為等差數(shù)列.bn+1-bn=一個(gè)常數(shù)即可.
(3)由(2)可得:an=
(2n+1)•3n+1
2
..可得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
n
2
+
1
2
[3×3+5×32+7×33
+…+(2n+1)×3n].,設(shè)Tn=3×3+5×32+…+(2n+1)×3n,利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.
解答: 解:(1)∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=3an-1+3n-1(n∈N,n≥2)且a3=95.
令n=3時(shí),a3=3a2+33-1=95,解得a2=23.
令n=2時(shí),a2=3a1+32-1=23,解得a1=5.
∴a2=23,a1=5.
(2)由an=3an-1+3n-1(n∈N,n≥2),變形為
an
3n
-
an-1
3n-1
=1-
1
3n

an
3n
=(
an
3n
-
an-1
3n-1
)
+(
an-1
3n-1
-
an-2
3n-2
)
+…+(
a2
32
-
a1
3
)
+
a1
3

=(1-
1
3n
)
+(1-
1
3n-1
)
+…+(1-
1
32
)
+
5
3

=(n-1)-
1
9
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
+
5
3
=
2n+1
2
+
1
2
×
1
3n
,
∴an=
(2n+1)•3n+1
2

假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使得bn=
1
3n
(an+t)(n∈N)且{bn}為等差數(shù)列.
則bn+1-bn=
1
3n+1
(an+1+t)
-
1
3n
(an+t)
=
1
3n+1
(an+1+t-3an-3t)
=
1
3n+1
(3n+2-2t)
,
當(dāng)t=0時(shí),bn+1-bn=3為一個(gè)常數(shù).
因此存在一個(gè)實(shí)數(shù)t=0,使得bn=
1
3n
(an+t)(n∈N)且{bn}為等差數(shù)列.
(3)由(2)可得:an=
(2n+1)•3n+1
2
..
∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
n
2
+
1
2
[3×3+5×32+7×33
+…+(2n+1)×3n].
設(shè)Tn=3×3+5×32+…+(2n+1)×3n,
則3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)×3n+(2n+1)×3n+1,
∴-2Tn=3×3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n+1)×3n+1=3+
3(3n-1)
3-1
-(2n+1)×3n+1=-2n×3n+1
∴Tn=n×3n+1
∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
n
2
+n×3n+1
點(diǎn)評(píng):本題考查了遞推式的應(yīng)用、“累加求和法”、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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檢測(cè)某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝牛奶質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢測(cè),利用隨機(jī)表抽取樣本時(shí),先將500袋牛奶按000,001,…,499進(jìn)行編號(hào),如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第4列的數(shù)開(kāi)始按三位數(shù)連續(xù)向右讀取,那么最先檢測(cè)的前2袋牛奶的編號(hào)依次是
 
(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 27 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54.

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定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( 。
A、(0,
3
3
B、(
3
3
,1)
C、(0,
5
5
D、(
5
5
,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件
2x-y≤2
2x-3y+6≥0
x≥0,y≥0
,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2
(1)求
AB
BC
的值;
(2)若點(diǎn)P在以A為圓心,AB為半徑的劣弧BC上運(yùn)動(dòng),求
BP
CP
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),其最小正周期為3,且x∈(-
3
2
,0),f(x)=log2(-3x+1),則f(2014)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=-ln(x+1)的圖象大致是( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線l的參數(shù)方程為
x=-1-
3
2
t
y=
3
+
1
2
t
(t
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)M(-1,
3
),直線l與圓C相交于點(diǎn)A,B,求|MA||MB|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2
2
)an+sin2
2
,則該數(shù)列的前16項(xiàng)和為
 

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