Question

10．（1）求$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$的解集．
（2）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù).${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞）．若x∈[$\frac{3}{2}$，3]，求C${\;}_{8}^{x}$值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)排列數(shù)公式，化簡計算，再驗證即可到解集．
（2）對于題目中新定義的：“C_n^x”理解是解決此題的問題，如求${C}_{8}^{\frac{3}{2}}$，它是由一個分式的分子和分母兩部分構(gòu)成，分子是8，分母是的分數(shù)．按此理解將函數(shù)C^x₈的值域問題轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$，
∴$\frac{3!（n-3）_!}{n!}$-$\frac{4!（n-4）!}{n!}$＜$\frac{12!（n-12）!}{n!}$，
∴3!（n-3）!-4!（n-4）!＜12!（n-12）!，
∴3!（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）＜12!，
∴（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）＜2×11!，
當(dāng)n=15時，（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）=11×10×9×8×7×6×5×4×8＞2×11!，
當(dāng)n=14時，（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）=10×9×8×7×6×5×4×3×7＜2×11!，
∵n≥12，
∴n=12，13，14，
∴$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$的解集為{12，13，14}
（2）當(dāng)x∈[$\frac{3}{2}$，2]時，${C}_{8}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{8}{\frac{3}{2}}$=$\frac{16}{3}$，當(dāng)x→2時，[x]=1，所以C₈^x=$\frac{8}{2}$=4，
當(dāng)[2，3）時，C₈²=$\frac{8×7}{2×1}$=28，
當(dāng)x→3時，[x]=2，C₈^x=$\frac{8×7}{x（x-1）}$=$\frac{56}{x（x-1）}$，
又∵當(dāng)x∈[2，3）時，f（x）=x（x-1）∈[2，6），
∴$\frac{56}{x（x-1）}$∈（$\frac{28}{3}$，28]，
∴故C₈^x的值域為（$\frac{16}{3}$，4]∪（$\frac{28}{3}$，28]．

點評 本本題是一道創(chuàng)新題，新的高考，每年均會出現(xiàn)一定新穎的題目，我們只要認真審題，細心研究，活用基礎(chǔ)知識，把握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識到能力的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．