Question

12．專家通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散，設(shè)f（x）表示學(xué)生注意力隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律．（f（x）越大，表明學(xué)生注意力越大），經(jīng)過(guò)試驗(yàn)分析得知：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+24x+100，0＜x≤10\\ 240，10＜x＜20\\-7x+380，20≤x≤40\end{array}\right.$
（Ⅰ）講課開(kāi)始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能堅(jiān)持多少分鐘？
（Ⅱ）講課開(kāi)始后5分鐘時(shí)與講課開(kāi)始后25分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？
（Ⅲ）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目？

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)分段函數(shù)討論，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，10＜x＜20時(shí)，當(dāng)20＜x≤40時(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值即可；
（Ⅱ）代入分段函數(shù)，計(jì)算即可得到；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令y=180，解得x=4，當(dāng)20＜x≤40時(shí)，令y=380-7x=180，解得x，作差即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y=-x²+24x+100=-（t-12）²+244，
對(duì)稱軸x=12，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x增大而增大，
當(dāng)x=10時(shí)，y取得最大值240，
10＜x＜20時(shí)，y=240．
當(dāng)20＜x≤40時(shí)，y=380-7x，y隨x的增大而減�。�
此時(shí)y＜240．
故x=10，y_max=240，
即有講課開(kāi)始后10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能堅(jiān)持10分鐘；
（Ⅱ）當(dāng)t=5時(shí)，y=195，當(dāng)t=25時(shí)，y=205，
則講課開(kāi)始后5分鐘時(shí)與講課開(kāi)始后25分鐘時(shí)比較，講課后25分鐘，學(xué)生的注意力更集中；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令y=-x²+24x+100=180，
解得x=4，
當(dāng)20＜x≤40時(shí)，令y=380-7x=180，
解得x=28.57．
由于28.57-4＞24，
則經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．