Question

9．若數(shù)列{a_n}滿足a_n-（-1）ⁿa_n-1=n（n≥2，n∈N^*），S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₄₀=440．

Answer 1

分析 由${a_n}-（-1{）^n}{a_{n-1}}=n$（n≥2），對(duì)n分類討論，可得：a_2k+a_2k-2=4k-1，a_2k+1+a_2k-1=1，分組求和即可得出．

解答 解：∵${a_n}-（-1{）^n}{a_{n-1}}=n$（n≥2），
∴當(dāng)n=2k時(shí)，即a_2k-a_2k-1=2k，①
當(dāng)n=2k-1時(shí)，即a_2k-1+a_2k-2=2k-1，②
當(dāng)n=2k+1時(shí)，即a_2k+1+a_2k=2k+1，③
①+②a_2k+a_2k-2=4k-1，
③-①a_2k+1+a_2k-1=1，
S₄₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₃₉）+（a₂+a₄+a₆+a₈+…+a₄₀）=$1×10+（{7+15+23+…}）=10+7×10+\frac{{10（{10-1}）}}{2}×8=440$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、分組求和方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．