Question

20．對于數(shù)列{a_n}，若?m，n∈N^*（m≠n），都有$\frac{{{a_n}-{a_m}}}{n-m}≥t（{t為常數(shù)}）$成立，則稱數(shù)列{a_n}具有性質P（t）．若數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={n^2}-\frac{a}{n}$，且具有性質P（10），則實數(shù)a的取值范圍是[36，+∞）．

Answer 1

分析 由題意知$\frac{{{a_n}-{a_m}}}{n-m}=\frac{{（{{n^2}-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-\frac{a}{m}}）}}{n-m}≥10$恒成立，從而可得數(shù)列$\left\{{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}\right\}$為單調(diào)遞增數(shù)列，從而可得${（{n+1}）^2}-（{n+1}）-\frac{a}{n+1}-（{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}）≥0$恒成立，即a≥-n（n+1）（2n-9），從而解得．

解答 解：∵數(shù)列通項公式${a_n}={n^2}-\frac{a}{n}$且數(shù)列具有性質P（10），
∴$\frac{{{a_n}-{a_m}}}{n-m}=\frac{{（{{n^2}-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-\frac{a}{m}}）}}{n-m}≥10$，
∴$\frac{{（{{n^2}-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-\frac{a}{m}}）}}{n-m}-10=\frac{{（{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-10m-\frac{a}{m}}）}}{n-m}≥0$恒成立，
∴數(shù)列$\left\{{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}\right\}$為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴${（{n+1}）^2}-（{n+1}）-\frac{a}{n+1}-（{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}）≥0$恒成立，
即a≥-n（n+1）（2n-9），
由數(shù)軸標根法作圖如下，

故最大值在n=1，2，3或4上取得，
當n=1時，-n（n+1）（2n-9）=14，
當n=2時，-n（n+1）（2n-9）=30，
當n=3時，-n（n+1）（2n-9）=36，
當n=4時，-n（n+1）（2n-9）=20，
故a≥36．
故答案為：[36，+∞）．

點評 本題考查了恒成立問題，恒成立問題一般轉化為求最值，構造新的數(shù)列形式后要利用遞推關系建立不等式．