Question

14．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為60°，且$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$，則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知條件結(jié)合基本不等式的性質(zhì)及平面向量的數(shù)量積運算得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≤1$，當且僅當|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1時取等號．進一步由|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$再展開數(shù)量積公式求得答案．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為60°，且$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1$，即${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°=1$，
則${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+1≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≤1$，當且僅當|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1時取等號．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°}$
=$\sqrt{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+1}$，
∴1＜2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|+1≤3，
∴1＜|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|≤$\sqrt{3}$．
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．